Comonad

Monad の圏論的双対。Monad が「値を文脈に入れて作用を積む」なら、Comonad は「文脈付き値から値を取り出し、文脈全体を使って計算する」。extract と extend（または duplicate）が中核。

定義（Monad との対）

extend f は「フォーカスを動かしながら、各位置で周囲の文脈ごと f を適用する」操作。

クラス定義（Haskell 風）

class Functor w => Comonad w where
  extract   :: w a -> a               -- counit。文脈から「今の値」を取り出す
  duplicate :: w a -> w (w a)         -- comultiplication。各位置に「そこを焦点にした文脈」を詰める
  extend    :: (w a -> b) -> w a -> w b

  -- duplicate と extend は相互定義可能（どちらか一方で済む）
  extend f = fmap f . duplicate
  duplicate = extend id

Comonad 則（Monad 則の双対）

extract      . duplicate         = id            -- 左単位（return-bind の双対）
fmap extract . duplicate         = id            -- 右単位
duplicate    . duplicate         = fmap duplicate . duplicate   -- 結合律
-- extend 形: extract . extend f = f,  extend extract = id,  extend f . extend g = extend (f . extend g)

代表例

• Stream / 無限リスト — 各位置で隣接要素を見る計算（移動平均など）
• Zipper — フォーカス付きデータ構造。セルオートマトンは「近傍を見て次状態を決める」＝ extend そのもの
• Store comonad (s -> a, s) — 関数＋現在位置。画像のたたみ込み、スプレッドシート（セル＝周囲参照）
• Env / CoReader (e, a) — 環境付き値（Reader モナドの双対）

Store comonad

「現在位置 s」と「位置から値を引く関数 s -> a」の対。スプレッドシートのセルや画像のピクセルのように、周囲を参照して計算するものを表す。

data Store s a = Store (s -> a) s    -- (引く関数, 焦点)

instance Comonad (Store s) where
  extract     (Store f s)   = f s                      -- 焦点の値
  duplicate   (Store f s)   = Store (Store f) s        -- 各位置 s' に「s' を焦点とした Store」を詰める
  extend g    (Store f s)   = Store (\s' -> g (Store f s')) s

-- 1次元の「移動平均」フィルタ: 焦点の左右を見る
peek :: s -> Store s a -> a
peek s' (Store f _) = f s'

blur :: Store Int Double -> Double
blur w = (peek (pos-1) w + extract w + peek (pos+1) w) / 3
  where Store _ pos = w
-- avg = extend blur w で、全位置に一括適用（各位置の文脈ごと blur）

Zipper（リストの焦点付き表現）

data Zipper a = Zipper [a] a [a]   -- (左を逆順, 焦点, 右)

instance Comonad Zipper where
  extract   (Zipper _ x _) = x
  duplicate z = Zipper (iterateMaybe left z) z (iterateMaybe right z)
    -- 各位置に「そこを焦点にした Zipper 全体」が入る
  -- extend f = fmap f . duplicate ⇒ 各位置で近傍を見た f を一括適用

-- Conway のライフゲーム / 1次元 CA は extend rule そのもの:
--   next = extend rule grid   （rule :: Zipper Cell -> Cell が近傍を読む）

なぜ重要か

「周囲の文脈に依存する計算」を一様に扱える。セルオートマトン、画像処理（畳み込み）、スプレッドシート、ストリーム処理、リアクティブ UI が同じ extend の形に乗る。Monad が副作用（effect）のモデルなら、Comonad は文脈・資源要求（coeffect）のモデルになる。

押さえどころ（カード化候補）

• Comonad とは → Monad の圏論的双対。return/bind/join の矢印を全部逆にしたもの（extract/extend/duplicate）。「文脈付き値から値と周辺計算を取り出す」
• 三演算 → extract :: w a -> a（焦点を取る）、duplicate :: w a -> w (w a)（各位置にそこを焦点とした文脈を詰める）、extend :: (w a -> b) -> w a -> w b（全位置に近傍依存の計算を一括適用）。extend f = fmap f . duplicate
• Store comonad → (s -> a, s) = 引く関数＋焦点。extend で「各位置の近傍を見る計算」を一括適用＝畳み込み・移動平均・スプレッドシート再計算
• セルオートマトン → 次世代 = extend rule grid。rule が Zipper/Store で近傍を読む。CA・畳み込み・ステンシル計算がすべて同じ extend 形に乗る
• effect ↔ coeffect → Monad は「出力に作用を積む」（effect）、Comonad は「入力に文脈を要求する」（coeffect）。双対の対比

関連

• Monad — 双対の相手。bind↔extend、return↔extract
• Coeffect — comonad でモデル化される「文脈・資源の要求」
• 双対 — Monad/Comonad は圏論的双対の一例
• Algebraic Effects — effect（出力側）に対する coeffect（入力側）の対比