圏論
数学の一分野。対象（object）と射（morphism）、その合成と恒等射からなる「圏」を基本に、構造を中身でなく射の振る舞いで捉える。関数型プログラミングでは「型＝対象・関数＝射」とする圏が、Monad 等の抽象の共通言語になる。
圏の定義
- 対象 の集まりと、対象間の 射
f : A → B - 合成
g ∘ f（結合律(h∘g)∘f = h∘(g∘f)） - 各対象に 恒等射
id（単位律）
例: Set（集合と関数）、Hask（型と関数）、半順序（対象＝要素・射＝≤）、モノイド（対象1つ・射＝要素）。
プログラミングとの対応
| 圏論 | プログラミング |
|---|---|
| 対象 | 型 |
| 射 | 関数 |
関手（Functor F: C→C） | map を持つ型構築子（高階多相） |
| 自然変換 | 関手間の多相関数（[a] -> Maybe a 等） |
| 積 / 余積 | 直積・タプル / 直和・ADT |
| 始対象 / 終対象 | Void / Unit |
指数対象 B^A | 関数型 A -> B |
中心的な概念
- Monad ＝「自己関手の圏におけるモノイド対象」 — 自己関手
Tとη: Id→T（return）・μ: T²→T（join）。Monad の正体 - 双対（opposite category
C^op） — 射を全部逆向きに。Comonad は Monad の、余積は積の双対 → 双対 - 普遍性（universal property） — 「ある性質を満たす唯一の射」で対象を特徴づける。始代数からの一意射 ＝ catamorphism（再帰スキーム）
- 随伴（adjunction）
F ⊣ G— カリー化（積と指数の随伴）、自由↔忘却。圏論の最重要概念のひとつ - カリー＝ハワード＝ランベック対応 — 論理＝型＝圏（デカルト閉圏）。カリー＝ハワード対応の圏側の足
なぜ FP に効くか
多くの抽象が「同じ圏論的構造の別インスタンス」と分かり、法則（functor 則・monad 則）が設計の指針になる。一方、実用に圏論は必須ではない（過度な抽象化は偶有的複雑性を増やしうる）。共通パターンの整理と法則の根拠として使うのが勘所。
関連
- Monad / Comonad — 自己関手のモノイド対象とその双対
- 双対 — opposite category が双対の源
- 再帰スキーム — 代数/余代数と始代数/終余代数の普遍性
- カリー＝ハワード同型対応 — 論理＝型＝圏の三項対応
- ADT / GADT — 積/余積という圏論的構成