射影 (projection)

複数の分野に現れるが、共通核は同じ — 全体から一部の成分・次元だけを取り出し、残りを捨てる操作。多くは冪等(2回適用しても結果は変わらない: p(p(x)) = p(x))で、情報を落とす(非可逆)。双対は「埋め込む・注入する(injection)」。分野ごとに姿を整理する。

圏論・型の射影

積(product)A×B からの取り出し π₁ : A×B → A、π₂ : A×B → B(プログラムの fst / snd)。型では A ∧ B → A = ∧除去(カリー=ハワードで「タプルから片方を取る」)。積の普遍性そのものが射影で定義される(任意の対 f:C→A, g:C→B が一意の ⟨f,g⟩:C→A×B を経由し、πで戻る)。

双対は直和(coproduct)A+B への入射 inj₁ : A → A+B(型では A → A∨B = ∨導入)。射影=取り出す / 入射=埋め込むが積↔和の双対をなす。→ 直積/直和型の取り出しと構築。

矢印の向きが対照的(射影は外向き、入射は内向き):

flowchart LR
    subgraph prod["積 A×B（射影 = 外向き）"]
      direction TB
      AB["A × B"]
      AB -->|"π₁"| A1["A"]
      AB -->|"π₂"| B1["B"]
    end
    subgraph cop["直和 A+B（入射 = 内向き）"]
      direction TB
      A2["A"] -->|"inj₁"| AC["A + B"]
      B2["B"] -->|"inj₂"| AC
    end

線形代数の射影

線形写像 P で P² = P(冪等) を満たすもの。空間をある部分空間へ「潰す」。

直交射影: さらに Pᵀ = P(対称)。点から部分空間への最短距離の足を与える → 最小二乗法の幾何的中身
次元削減(PCA など)は「分散最大の部分空間への射影」
冪等=「一度潰したものを再度潰しても同じ」、情報落ち=「捨てた次元は戻せない」

冪等性(P²=P)を図で:

flowchart LR
    x["x（全空間の点）"] -->|"P"| px["Px（部分空間へ落とす）"]
    px -->|"P をもう一度（変化なし）"| px

関係代数の射影

RDB の π(列の選択)= SQL の SELECT 列…。テーブルから必要な属性(列)だけを残す。

対になるのは選択(selection)σ = WHERE(行の絞り込み)。射影=縦に削る / 選択=横に削る
集合意味論では重複を除くため冪等的

縦(列)に削るのが射影、横(行)に削るのが選択:

flowchart LR
    T["テーブル（行 × 列）"] -->|"π 射影 = 列を選ぶ"| C["必要な列だけの表"]
    T -->|"σ 選択 = 行を絞る"| R["条件に合う行だけの表"]

その他の「射影」

Futamura 射影(二村射影) → 部分評価。インタプリタの特殊化を3段で重ねる別概念(名前が同じだけ)
透視射影(perspective projection) → 3D→2D 変換(lumen 等のグラフィックス数学)

共通する直感(押さえどころ)

射影とは → 全体から一部の成分/次元を取り出し残りを捨てる操作。多くは冪等(p∘p = p)で情報を落とす(非可逆)。
圏論・型 → 積からの取り出し π₁/π₂(fst/snd)、A∧B→A(∧除去)。双対は直和への入射 A→A∨B(∨導入)。
線形代数 → P²=P の冪等写像。直交射影(Pᵀ=P)は最短距離=最小二乗、PCA は分散最大部分空間への射影。
関係代数 → π=列の選択(SELECT)。行を絞る選択 σ(WHERE)と対。
同名だが別物 → Futamura 射影(部分評価)、透視射影(3D→2D)。